1. Resuelva este problema :

Hay que repartir $60.000 entre cierto número de amigos, presentes en una reunión, de manera exacta entre ellos. Alguien nota que si hubieran dos amigos menos, a cada uno le tocaría $2.500 más. ¿ Cuántos son los amigos presentes y cuánto le toca a cada uno?

SOLUCION



Sea x: número de amigos presentes.

: dinero que le corresponde a cada uno.

: dinero que le tocaría a cada uno, si hubieran dos amigos menos.

De acuerdo a las condiciones del problema, se tiene :

.

Después de quitar denominadores y simplificar, se obtiene la ecuación cuadrática :

,

cuyas soluciones son: x = 8 y x = -6.

En el caso considerado, x = 8 es el número de amigos presentes y $7500 lo que le toca a cada uno.

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ecuacion cuadratica

ecuacion cuadratica

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax² + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos: x² - 9 = 0; x² - x - 12 = 0; 2x² - 3x - 4 = 0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x² en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.

Factorización:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

1) x² - 4x = 0

2) x² - 4x = 12

3) 12x² - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.

Raíz cuadrada:

Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x² = k es equivalente a :

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada:

1) x² - 9 = 0

2) 2x² - 1 = 0

3) (x - 3)² = -8

Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x² + bx + ?

Regla para hallar el último término de x² + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son

x² + bx es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

1) x² + 6x + 7 = 0

2) x² – 10x + 5 = 0

3) 2x² - 3x - 4 = 0

Fórmula cuadrática:

La solución de una ecuación ax² + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

La expresión:

conocida como el discriminante determina el número y el tipo de soluciones. La tabla a continuación muestra la información del número de soluciones y el tipo de solución de acuerdo con el valor del discriminante.

Valor de:	Tipo de solución
positivo	dos soluciones reales
cero	una solución real
negativo	dos soluciones imaginarias

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática:

1) x² + 8x + 6 = 0

2) 9x² + 6x + 1 = 0

3) 5x² - 4x + 1 = 0

Nota: Cualquier ecuación cuadrática puede resolverse utilizando la fórmula cuadrática.